[Machine Learning] Exam 3 (Week 4)

해당 내용은 Andrew Ng 교수님의 Machine Learning 강의(Coursera)를 정리한 내용입니다.

※ 아래에 문제 풀이가 있습니다. 원하지 않는다면 스크롤을 내리지 마세요.

 

4주차 과제는 아래와 같다.

lrCostFunction.m - Regularized Logistic Regression의 Cost와 편미분항을 계산하는 과제. 결론부터 말하자면, Ex2의 costFunctionReg.m과 완전 동일하다.

oneVsAll.m - multi-class logistic regression의 분류를 예측하는 코드 작성 과제

predictOneVsAll.m - 예측 함수를 통해서 예측값을 반환하는 코드 작성 과제

predict.m - Neural network 예측 함수를 작성하는 과제

 

https://github.com/junstar92/Coursera/tree/master/MachineLearning/ex3

위 GitHub에서도 코드를 볼 수 있다.

 

[lrCostFunction.m]

처음에 언급했지만, Exam2의 costFunctionReg.m과 완전히 동일하다. 기존 설명을 참조.

2020/08/11 - [Machine Learning/Machine Learning - Andrew Ng] - [Machine Learning] Exam 2

 

코드

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)
%LRCOSTFUNCTION Compute cost and gradient for logistic regression with 
%regularization
%   J = LRCOSTFUNCTION(theta, X, y, lambda) computes the cost of using
%   theta as the parameter for regularized logistic regression and the
%   gradient of the cost w.r.t. to the parameters. 
 
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
 
% You need to return the following variables correctly 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta.
%               You should set J to the cost.
%               Compute the partial derivatives and set grad to the partial
%               derivatives of the cost w.r.t. each parameter in theta
%
% Hint: The computation of the cost function and gradients can be
%       efficiently vectorized. For example, consider the computation
%
%           sigmoid(X * theta)
%
%       Each row of the resulting matrix will contain the value of the
%       prediction for that example. You can make use of this to vectorize
%       the cost function and gradient computations. 
%
% Hint: When computing the gradient of the regularized cost function, 
%       there're many possible vectorized solutions, but one solution
%       looks like:
%           grad = (unregularized gradient for logistic regression)
%           temp = theta; 
%           temp(1) = 0;   % because we don't add anything for j = 0  
%           grad = grad + YOUR_CODE_HERE (using the temp variable)
%
tempTheta = theta;
tempTheta(1) = 0;
 
J = (-1/m) * sum(y.*log(sigmoid(X*theta))+(1-y).*log(1-sigmoid(X*theta))) ...
        + ((lambda)/(2*m))*(tempTheta'*tempTheta);
 
temp = sigmoid(X*theta);
error = temp - y;
grad = (1/m) * (X' * error) +(lambda/m)*tempTheta;
 
% =============================================================
 
grad = grad(:);
 
end

 

 

[oneVsAll.m]

Multi-Classes Logistic Regression의 Class-label의 각 Hypothesis Function의 theta값을 반환하는 함수를 작성하는 코드이다.

여기서 코드에 Hint를 살펴보면, Initial theta는 전부 0으로 시작하면 되고, class-label의 개수만큼 regression을 진행한다.

그리고 fmincg 함수를 사용해서 최적화된 theta값을 사용하라고 되어 있다. optimset으로 옵션을 설정하고 해당 함수를 사용하는 것 같은데, 이 함수는 나중에 다시 알아보도록 해야겠다.

% Note: For this assignment, we recommend using fmincg to optimize the cost
%       function. It is okay to use a for-loop (for c = 1:num_labels) to
%       loop over the different classes.
%
%       fmincg works similarly to fminunc, but is more efficient when we
%       are dealing with large number of parameters.
%
% Example Code for fmincg:
%
%     % Set Initial theta
%     initial_theta = zeros(n + 1, 1);
%     
%     % Set options for fminunc
%     options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
% 
%     % Run fmincg to obtain the optimal theta
%     % This function will return theta and the cost 
%     [theta] = ...
%         fmincg (@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
%                 initial_theta, options);
%
% Set Initial theta

위와 같은 힌트가 있다.

 

우리는 all_theta를 아래와 같이 반환한다. K는 num_label, 즉, class의 개수를 의미한다.

$$\Theta = \begin{bmatrix} \Theta_1^{(0)} && \Theta_1^{(1)} && ... && \Theta_1^{(n)} \\ \Theta_2^{(0)} && \Theta_2^{(1)} && ... \Theta_2^{(n)} \\ ... && ... && ... && ... \\ \Theta_K^{(0)} && \Theta_K^{(1)} && ... && \Theta_K^{(n)} \end{bmatrix}$$

코드로 나타내면 아래와 같다.

function [all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels, lambda)
%ONEVSALL trains multiple logistic regression classifiers and returns all
%the classifiers in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta 
%corresponds to the classifier for label i
%   [all_theta] = ONEVSALL(X, y, num_labels, lambda) trains num_labels
%   logistic regression classifiers and returns each of these classifiers
%   in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta corresponds 
%   to the classifier for label i
 
% Some useful variables
m = size(X, 1);
n = size(X, 2);
 
% You need to return the following variables correctly 
all_theta = zeros(num_labels, n + 1);
 
% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should complete the following code to train num_labels
%               logistic regression classifiers with regularization
%               parameter lambda. 
%
% Hint: theta(:) will return a column vector.
%
% Hint: You can use y == c to obtain a vector of 1's and 0's that tell you
%       whether the ground truth is true/false for this class.
%
% Note: For this assignment, we recommend using fmincg to optimize the cost
%       function. It is okay to use a for-loop (for c = 1:num_labels) to
%       loop over the different classes.
%
%       fmincg works similarly to fminunc, but is more efficient when we
%       are dealing with large number of parameters.
%
% Example Code for fmincg:
%
%     % Set Initial theta
%     initial_theta = zeros(n + 1, 1);
%     
%     % Set options for fminunc
%     options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
% 
%     % Run fmincg to obtain the optimal theta
%     % This function will return theta and the cost 
%     [theta] = ...
%         fmincg (@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
%                 initial_theta, options);
%
% Set Initial theta
for c = 1:num_labels
    initial_theta = zeros(n + 1, 1);
 
    % Set options for fminunc
    options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
 
    % Run fmincg to obtain the optimal the
    % This function will return theta and 
    [theta] = ...
        fmincg (@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
                initial_theta, options);
                
    all_theta(c,:) = theta';
end
 
% =========================================================================
 
 
end

 

 

[predictOneVsAll.m]

one-vs-all multi-class 분류의 예측값을 반환하는 코드 작성을 하면 된다.

우리는 Hypothesis Function이 아래와 같이 나타낼 수 있다는 것을 알고 있다.

$$h_\theta(x) = \frac{1}{1 + e^{-X\theta}}$$

다만 여기서 theta는 각 class-label로 이루어져 아래와 같다.

$$\Theta = \begin{bmatrix} \Theta_1^{(0)} && \Theta_1^{(1)} && ... && \Theta_1^{(n)} \\ \Theta_2^{(0)} && \Theta_2^{(1)} && ... \Theta_2^{(n)} \\ ... && ... && ... && ... \\ \Theta_K^{(0)} && \Theta_K^{(1)} && ... && \Theta_K^{(n)} \end{bmatrix}$$

즉, 위 Hypothesis Function의 \(X\theta\) 부분은 벡터화해서 나타내면 \(X\Theta^T\) 로 나타낼 수 있다.

 

코드는 아래와 같다.

function p = predictOneVsAll(all_theta, X)
%PREDICT Predict the label for a trained one-vs-all classifier. The labels 
%are in the range 1..K, where K = size(all_theta, 1). 
%  p = PREDICTONEVSALL(all_theta, X) will return a vector of predictions
%  for each example in the matrix X. Note that X contains the examples in
%  rows. all_theta is a matrix where the i-th row is a trained logistic
%  regression theta vector for the i-th class. You should set p to a vector
%  of values from 1..K (e.g., p = [1; 3; 1; 2] predicts classes 1, 3, 1, 2
%  for 4 examples) 
 
m = size(X, 1);
num_labels = size(all_theta, 1);
 
% You need to return the following variables correctly 
p = zeros(size(X, 1), 1);
 
% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Complete the following code to make predictions using
%               your learned logistic regression parameters (one-vs-all).
%               You should set p to a vector of predictions (from 1 to
%               num_labels).
%
% Hint: This code can be done all vectorized using the max function.
%       In particular, the max function can also return the index of the 
%       max element, for more information see 'help max'. If your examples 
%       are in rows, then, you can use max(A, [], 2) to obtain the max 
%       for each row.
%       
 
g_h = sigmoid(X * all_theta');
 
[max_pobability_one_example, class_in_one_example] = max(g_h, [], 2); 
p = class_in_one_example;
 
% =========================================================================
 
end

line 33처럼 Hypothesis Function은 이렇게 나타낼 수 있고, 각 column 값은 해당 row(즉, i번째 training set) class-label의 확률값이다. 

line 35에서 각 행의 최대 확률값과, 그 확률값의 class로 이루어진 vector을 반환하도록 하였다. 즉, 우리가 구하고자 하는 것은 각 training set에서 최대의 확률을 갖는 class의 vector이다.

 

 

[predict.m]

Neural Network의 예측값을 반환하는 코드 작성 과제이다.

 

1개의 Hidden Layer층을 갖는 신경망을 구현하면 되는데, 첫 번째 레이어에서 두 번째 레이어의 변환에 Theta1, 두 번째 레이어에서 Output 레이어의 변환에 Theta2를 사용한다.

여기서 input layer는 400, hidden layer는 25, output layer는 10으로 설정되어 있다.

ex3_nn.m

즉, \(\Theta^{(1)}\)은 25 x 401 matrix, \(\Theta^{(2)}\)는 10 x 26 matrix가 된다. Layer가 넘어갈 때마다 bias unit(\(a_0^{(j)} = 1\)이 추가되기 때문에 이전 단계 input 갯수에서 +1씩 된다.

문제에서 Layer 는 총 3개이며, \(a^{(1)} = X\)이고 나머지 \(a^{(2)}, a^{(3)}\) 을 구하고, \(a^{(3)}\)이 Hypothesis Function이 된다.

마지막 결과는 output layer의 node가 10개(즉, class - label이 10개)이기 때문에, \(a^{(3)}\)은 m(여기서는 5000) x 10의 matrix가 된다. 

우리는 각 row행에서 가장 큰 확률값는 column을 max함수를 통해 찾아서 반환하면 된다.

문제 코드는 아래와 같다.

function p = predict(Theta1, Theta2, X)
%PREDICT Predict the label of an input given a trained neural network
%   p = PREDICT(Theta1, Theta2, X) outputs the predicted label of X given the
%   trained weights of a neural network (Theta1, Theta2)
 
% Useful values
m = size(X, 1);
num_labels = size(Theta2, 1);
 
% You need to return the following variables correctly 
p = zeros(size(X, 1), 1);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Complete the following code to make predictions using
%               your learned neural network. You should set p to a 
%               vector containing labels between 1 to num_labels.
%
% Hint: The max function might come in useful. In particular, the max
%       function can also return the index of the max element, for more
%       information see 'help max'. If your examples are in rows, then, you
%       can use max(A, [], 2) to obtain the max for each row.
%
 
 
% Add ones to the X data matrix  
X = [ones(m, 1) X];  
a2 = sigmoid(X * Theta1');  
 
% Add ones to the a2 data matrix  
a2 = [ones(m, 1) a2];  
a3 = sigmoid(a2 * Theta2');  
 
[max_pobability_one_example, class_in_one_example] = max(a3, [], 2);  
p = class_in_one_example;
 
% =========================================================================
end