다중 확률 변수 (Multiple Random Variables)

References

• 확률과 통계 강의 10, 11, 12, 13강 (KOWC - 한양대학교 이상화 교수님)
• Fundamentals of Applied Probability and Random Processs (Oliver Ibe)

Contents

• Joint & Marginal CDF of Bivariate RVs
• Discrete & Continuous Bivariate RVs
• Conditional Distribution of Bivariate RVs
• Conditional Means & Variances
• Covariance & Correlattion Coefficient
• Multivariate RVs
• Multinomial Distributions
• Joint Gaussian Distributions

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Joint CDF of Bivariate RVs

두 개의 확률 변수 X와 Y가 동일한 Sample Space에 정의되어 있다고 가정해봅시다. 예를 들면, X를 학생의 성적이라고 정의하고, Y를 X와 동일한 학생들의 키라고 정의할 수 있습니다. 이때, Joint(결합) CDF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[F_{XY}(x, y) = P(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}) = P(X \leq x, Y \leq y)\]

 

여기서 (X, Y) 쌍은 2개의 확률 변수를 가지고 있기 때문에 bivariate random variable이라고 칭합니다.

그리고, 각각의 변수에 대한 CDF를 Marginal(주변) CDF라고 합니다. 위의 경우에는 아래의 두 개의 Marginal CDF가 정의됩니다.

\[\begin{align*} F_X(x) = P(X \leq x) \\ F_Y(y) = P(Y \leq y) \end{align*}\]

 

 

Joint CDF(\(F_{XY}(x, y)\))는 다음의 성질들을 만족합니다.

1) \(0 \leq F_{XY}(x, y) \leq 1\)

2) \(x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2\)라면, 다음을 만족함

\[\begin{align*} F_{XY}(x_1, y_1) \leq F_{XY}(x_1, y_2) \leq F_{XY}(x_2, y_2) \\ F_{XY}(x_1, y_1) \leq F_{XY}(x_2, y_1) \leq F_{XY}(x_2, y_2) \end{align*}\] 

3) \(\underset{x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty}{\lim} F_{XY}(x, y) = P(X \leq \infty, Y \leq \infty) = 1\)

4) \(\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} F_{XY}(x, y) = P(X \leq -\infty, Y \leq y) = 0\)

5) \(\underset{y \rightarrow -\infty}{\lim} F_{XY}(x, y) = P(X \leq x, Y \leq -\infty) = 0\)

6) \(\underset{x \rightarrow -\infty, y \rightarrow -\infty}{\lim} F_{XY}(x, y) = P(X \leq -\infty, Y \leq -\infty) = 0\)

7) \(F_{XY}(x_1 < x \leq x_2, Y \leq y) = F_{XY}(x_2, y) - F_{XY}(x_1, y)\)

8) \(P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2) = F_{XY}(x_2, y_2) - F_{XY}(x_2, y_1) - F_{XY}(x_1, y_2) + F_{XY}(x_1, y_1)\)

 

위 성질들을 이용하여, \(P(X > a, Y >b)\)를 구하면 다음과 같습니다.

\[P(X > a, Y > b) = 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F_{XY}(a, b)\]

 

 

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Discrete Bivariate RVs

X와 Y가 이산 확률 변수일 때, Joint PMF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[P(X = x, Y = y) = P_{XY}(x, y)\]

 

이때, Joint PMF는 다음의 성질들을 만족합니다.

1) \(0 \leq P_{XY}(x, y) \leq 1\)

2) \(\sum_x \sum_y P_{XY}(x, y) = 1\)

3) \(F_{XY}(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \sum_{X \leq x} \sum_{Y \leq y} P_{XY}(x, y)\)

 

그리고, Marginal PMF는 아래의 식으로 얻을 수 있습니다.

\[\begin{align*} P_X(x) = \sum_y P_{XY}(x, y) = P(X = x) \\ P_Y(y) = \sum_x P_{XY}(x, y) = P(Y= y) \end{align*}\]

 

만약 X와 Y가 서로 독립(independent)라면, 다음의 식이 성립합니다.

\[P_{XY}(x, y) = P_X(x) P_Y(y)\]

 

 

동전을 3번 던지는 실험에서 확률 변수 X를 첫 번째 시도에서 H(head)가 나오면 1, T(tail)이 나오면 0이라고 정의하고, 확률 변수 Y를 동전을 3번 던져서 H가 나온 횟수라고 정의해봅시다.

이 실험에서의 Sample Space와 확률 변수의 값은 다음과 같습니다.

따라서, 모든 x, y에대한 Joint PMF는 다음과 같습니다.

\[\begin{align*} P_{XY}(0, 0) = \frac{1}{8} && P_{XY}(0, 1) = \frac{2}{8} && P_{XY}(0, 2) = \frac{1}{8} && P_{XY}(0, 3) = 0 \\ P_{XY}(1, 0) = 0 && P_{XY}(1, 1) = \frac{1}{8} && P_{XY}(1, 2) = \frac{2}{8} && P_{XY}(1, 3) = \frac{1}{8} \end{align*}\]

이때, 각 확률 변수의 Marginal PMF는 다음과 같습니다.

\[\begin{align*} P_X(0) = \frac{1}{2} && P_X(1) = \frac{1}{2} \\ P_Y(0) = \frac{1}{8} && P_Y(1) = \frac{3}{8} && P_Y(2) = \frac{3}{8} && P_Y(3) = \frac{1}{8} \end{align*}\]

여기서 만약 X와 Y가 독립이라면 모든 x, y에 대해 \(P_{XY}(x, y) = P_X(x)P_Y(y)\)가 성립해야 합니다. 

\[P_X(0) P_Y(0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16} \neq P_{XY}(0, 0) = \frac{1}{8}\]

위와 같이 등호가 성립하지 않기 때문에 두 확률 변수는 서로 독립이 아닙니다.

 

 

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Continous Bivariate RVs

연속 확률 변수의 경우에는 PMF를 정의할 수 없기 때문에 PDF를 정의합니다.

두 개의 연속 확률 변수에 대한 Joint PDF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{XY}(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F_{XY}(x, y)\]

 

그리고, 다음과 같은 성질들을 만족합니다.

1) \(f_{XY} \geq 0\)

2) \(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = F_{XY}(\infty, \infty) = 1\)

3) \(P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y < y_2) = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f_{XY}(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = F_{XY}(x_2, y_2) - F_{XY}(x_1, y_2) - F_{XY}(x_2, y_1) + F_{XY}(x_1, y_1)\)

 

이산 확률 변수와 마찬가지로 각각의 연속 확률 변수에 대한 Marginal PDF는 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

\[\begin{align*} f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) \mathrm{d}y \\ f_Y(y) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) \mathrm{d}x \end{align*}\]

 

또한, 두 확률 변수 X, Y가 서로 독립(independent)라면 다음의 식이 성립하게 됩니다.

\[f_{XY}(x, y) = f_X(x)f_Y(y)\]

 

 

연속 확률 변수의 Joint PDF의 정의를 살펴보면, Joint CDF를 두 확률 변수에 대해 편미분한 것과 같습니다. 확률 변수가 하나일 때, PDF는 물리적으로 단위 길이 당 확률을 의미했습니다. 하지만 확률 변수가 2개가 되면 Joint PDF는 확률 밀도(단위 면적 당 확률)를 의미하게 됩니다.

 

 

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Contional Distribution for Bivariate RVs

Discrete Bivariate RVs

먼저 이산 확률 변수에 대한 조건부 분포를 생각해봅시다.

조건부 확률은 사건들(events)의 집합으로 고려했을 때, 다음과 같이 표현합니다.

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

그리고 확률 변수를 통해서 표현할 때 일반적으로 다음과 같이 표현합니다.

\[P(X \leq x | X \leq a) = F_X(x | X \leq a)\]

 

두 개의 확률 변수일 때도 이와 동일합니다. 만약 \(X = x\)로 주어진 경우, \(Y\)의 조건부 PMF는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[P_{Y|X} (Y = y | X = x) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(X = x)} = \frac{P_{XY}(x, y)}{P_{XY}(x)}\]

 

예를 들어, 위에서 살펴본 동전을 3번 던지는 실험을 고려해봅시다. 확률 변수 X와 Y의 정의는 동일하다고 가정합니다.

이때, Joint PMF와 Marginal PMF는 다음과 같습니다.

이때, \(P_{Y|X}(Y = 1|X = 0)\)은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\[P_{Y|X}(Y=1|X=0) = \frac{P_{XY}(0, 1)}{P_X(0)} = \frac{2/8}{1/2} = \frac{2}{4}\]

 

Continuous Bivariate RVs

두 연속 확률 변수에 대한 조건부 확률, 예를 들어, \(X = x\)로 주어졌을 때 Y의 조건부 PDF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_X(x)}\]

여기서 \(X = x\)로 주어졌다는 것에 주의할 필요가 있습니다. 일반적으로 연속 확률 분포에 대해 하나의 특정한 값에 대한 확률은 0이라고 알고 있습니다. 이 때문에 조금 헷갈릴 수 있습니다.

 

쉽게 말하면, 두 확률 변수는 이제 평면 상에서 표현할 수 있습니다. 이때, \(X = x\)라고 고정하면 이에 해당하는 \(Y\)의 범위가 형성되고 이 범위에 대한 확률이 바로 \(X = x\)일 때의 Y의 조건부 확률이 되는 것입니다.

 

조건부 PDF를 식으로 정리하면, 다음과 같습니다.

\[\begin{align*} f_{Y|X}(y|x) &= \frac{\partial}{\partial y}F_{Y|X}(y | X = x) \\ &= \frac{\partial}{\partial y} P_{Y|X}(Y \leq y | X = x) \\ &= \frac{\partial}{\partial y} \frac{P(Y \leq Y, X = x)}{P(X = x)} \end{align*}\]

분자나 분모에 \(X = x\)에 대한 확률이 포함되어 있기 때문에 \(0/0\)의 꼴이 되고, 미분 개념으로 생각하면 그 결과가 의미있는 값이 될 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, 위의 식을 이어서 극한을 적용하면,

\[\begin{align*} &= \frac{\partial}{\partial y} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P(Y \leq y, x < X \leq x + \Delta x}{P(x < X \leq x + \Delta x} \\ &=  \frac{\partial}{\partial y} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F_{XY}(x + \Delta x, y) - F_{XY}(x, y)}{F_X(x + \Delta x) - F_X(x)} \\ &= \frac{\partial}{\partial y} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(F_{XY}(x + \Delta x, y) - F_{XY}(x, y)) / \Delta x}{(F_X(x + \Delta x) - F_X(x)) / \Delta x} \\ &= \frac{\partial}{\partial y} \frac{\frac{\partial}{\partial x}F_{XY}(x, y)}{f_X(x)} = \frac{\frac{\partial ^2}{\partial x \partial y}F_{XY}(x, y)}{f_X(x)} \\ &= \frac{f_{XY}(x, y)}{f_X(x)} \end{align*}\]

이 성립합니다.

 

즉, 두 연속 확률 변수에 대한 조건부 PDF는 다음과 같이 Joint PDF와 Marginal PDF로 계산할 수 있습니다.

\[\begin{align*} f_{Y|X}(y|x) &= \frac{f_{XY}(x, y)}{f_X(x)} \\ f_{X|Y}(x|y) &= \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)} \end{align*}\]

 

만약 두 확률 변수가 서로 독립이라면, 다음의 식이 성립합니다.

\[f_{X|Y}(x|y) = f_X(x) \text{  AND }  f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y)\]

 

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Contional Means & Variances

확률 변수의 평균과 분산

확률 변수의 평균과 분산

하나의 확률 변수에 대한 조건부 평균은 다음과 같이 정의됩니다.

\[E[X | X \leq a] = \int_{x \leq a} xf_X(x|x \leq a) \mathrm{d}x\]

 

두 개의 확률 변수에 대한 확률은 조건부 확률과 비슷하게 \(E[Y|X =x]\)로 표현할 수 있는데, 결과적으로 이 확률은 \(g(x)\)와 같이 x에 대한 함수(또는 상수)로 표현될 것 입니다. 즉, x의 값에 의해서 Y의 평균이 결정된다는 것을 의미합니다.

두 확률 변수가 이산 확률 변수라면, 다음과 같이 평균과 분산이 계산되고

\[\begin{align*} \mu_{Y|X} &= E[Y|X = x] = \sum_y yP_{Y|X}(y|x) \\ \sigma_{Y|X}^2 &= E[Y^2|X=x] - \mu_{Y|X}^2 \end{align*}\]

두 확률 변수가 연속 확률 변수라면, 평균은 다음과 같이 계산됩니다.

\[\begin{align*} \mu_{Y|X} &= E[Y|X=x] = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y|X}(y|x) \mathrm{d}y \end{align*}\]

 

 

Ex 5.10>

\(f_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{e^{-x/y} e^{-y}}{y} && 0 \leq x \infty, 0 < y < \infty \\ 0 && \text{otherwise} \end{cases}\)

Joint PDF가 위와 같이 주어졌을 때, \(E[X|Y=y]\)를 계산해보도록 하겠습니다.

 

먼저 조건부 평균을 계산하려면 conditional PDF \(f_{X|Y}(x|y)\)를 알아야 하는데, 조건부 PDF는 Joint PDF와 Marginal PDF의 식으로 구할 수 있기 때문에, 먼저 marginal PDF \(f_Y(y)\)를 계산해야 합니다.

\(f_Y(y) = \int_{0}^{\infty} f_{XY}(x, y)\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x/y}e^{-y}}{y} \mathrm{d}x = \frac{e^{-y}}{y} \int_{0}^{\infty} e^{-x/y}\mathrm{d}x = e^{-y}\)

\(f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)} = \frac{e^{-x/y}e^{-y}}{ye^{-y}} = \frac{1}{y}e^{-x/y}\)

위 식에 의해서 조건부 평균은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\(E[X|Y=y] = \int_{0}^{\infty} x f_{X|Y}(x|y)\mathrm{d}x = \frac{1}{y} \int_{0}^{\infty} x e^{-x/y} \mathrm{d}x\)

여기서 \(u = x\)로 치환하고, \(v = -ye^{-x/y}\)로 치환하여 부분적분 법으로 계산하면, 조건부 평균 \(E[X|Y=y]\)는 다음과 같이 계산됩니다.

위에서 언급했던 것처럼 y에 대한 식으로 계산된 것을 확인할 수 있습니다.

 

 

어떤 확률 변수 X를 g(X)로 매핑했을 때, \(E[g(X)]\)는 어떻게 계산될까요?

원래 X에 대한 평균을 계산하는 식에 X 대신 g(X)로만 바꿔주면 됩니다.

\[E[g(X)] = \int g(x)f_X(x) \mathrm{d}x\]

 

두 개의 확률 변수 X, Y를 어떤 변환 함수 \(h(X, Y)\)로 매핑했을 때도 동일합니다.

\[E[h(X, Y)] = \int \int h(x, y) f_{XY}(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y\]

이에 대해서는 6장에서 조금 더 자세하게 다루겠지만, 이번 포스팅에서 간단하게 \(E[E[X|Y]]\)가 어떻게 계산되는지만 살펴보겠습니다.

\[\begin{align*} E[E[X|Y]] &= E[\int x f_{X|Y}(x|Y=y) \mathrm{d}x] \end{align*}\]

오른쪽 항을 살펴보면, 결국 \(\int x f_{X|Y}(x|Y=y) \mathrm{d}x\)는 y에 대한 식 \(g(y)\)의 꼴이 될 것이기 때문에 \(E[g(y)]\)를 구하는 것과 동일합니다. 위의 식을 이어서 풀어보면,

\[\begin{align*} E[E[X|Y]] &= E[\int x f_{X|Y}(x|Y=y) \mathrm{d}x] \\ &= \int \left ( \int x f_{X|Y}(x|y)\mathrm{d}x \right )f_Y(y) \mathrm{d}y \\ &= \int \int x \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)} f_Y(y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int \int x f_{XY}(x, y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\ &= \int x f_X(x) \mathrm{d}x = E[X] \end{align*}\]

\(E[E[X|Y]] = E[X]\)라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

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Covariance & Correlation Coefficient

두 개의 확률 변수 X, Y에 대한 공분산(covariance)와 상관 계수(correlation coefficient)는 두 확률 변수가 얼마나 비슷한 경향으로 발생하는지 보여줍니다. 다르게 표현하면 두 확률 변수가 선형 관계에 있는지 보여줍니다.

 

두 확률 변수 X, Y에 대해서 기댓값이 각각 \(E[X] = \mu_X, E[Y] = \mu_Y\)이고, 분산이 \(\sigma_X^2, \sigma_Y^2\)인 경우, X와 Y의 공분산은 \(\text{Cov}(X, Y)\) 또는 \(\sigma_{XY}\)로 표기하며 다음과 같이 정의됩니다.

\[\begin{align*} \text{Cov}(X, Y) &= \sigma_{XY} = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \\ &= E[XY - \mu_Y X - \mu_X Y + \mu_X \mu_Y] \\ &= E[XY] - \mu_Y E[X] - \mu_X E[Y] + \mu_X \mu_Y \\ &= E[XY] -\mu_X \mu_Y - \mu_X \mu_Y + \mu_X \mu_Y \\ &= E[XY] - \mu_X \mu_Y \end{align*}\]

 

이때, \(\text{Cov}(X, Y) = 0\)이라면, 두 확률 변수 X와 Y는 서로 uncorrelated라고 합니다. 즉, 각 확률 변수는 서로 연관이 없으며, 즉, \(Y = g(X)\)로 매핑해주는 특정 변환 함수 \(g(X)\)가 존재하지 않는다고 할 수 있습니다.

반대로 두 확률 변수가 서로 correlated하다면, 서로 연관되어 있고 \(Y = g(X)\)로 매핑해주는 변환 함수가 존재한다는 것을 의미합니다.

 

만약 두 확률 변수가 서로 독립(independent)라면 어떻게 될까요?

두 확률 변수가 독립이려면 \(f_{XY}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)\)가 만족해야 합니다.

두 확률 변수가 독립일 때, 공분산의 정의를 조금 더 풀어보면

\[\begin{align*} \text{Cov}(X, Y) &= E[XY] - \mu_X \mu_Y \\ &= \int \int xy f_{XY}(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y - \mu_X \mu_Y \\ &= \int x f_X(x) \mathrm{d}x \int y f_Y(y) \mathrm{d}y - \mu_X \mu_Y \\ &= \mu_X \mu_Y - \mu_X \mu_Y = 0 \end{align*}\]

이 성립합니다.

따라서, 두 확률 변수가 서로 독립이라면 공분산이 0이 되므로 서로 correlated하다고 할 수 있습니다.

하지만 두 확률 변수가 서로 correlated하다고 해서 서로 독립인 경우는 아니므로 주의해야 합니다. 즉, 반대의 경우에는 항상 성립하지 않습니다.

 

결과적으로 uncorrelated 조건이 조금 더 상위 조건에 속하며, 독립 조건은 uncorrelated 조건 하위에 존재한다고 볼 수 있습니다.

 

 

X와 Y의 공분산을 구하면, 상관 계수(correlation coefficient)를 정의할 수 있으며 \(\rho(X, Y)\) 또는 \(\rho_{XY}\)로 표기합니다.

\[\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}\]

 

상관 계수 값의 범위는 \(-1 \leq \rho_{XY} \leq 1\) 이며, 분산은 항상 음수가 아니기 때문에 아래의 식들을 통해서 유도할 수 있습니다.

(Cauchy-Schwarz Inequality를 통해서 증명할 수도 있습니다)

 

예를 들어, 두 확률 변수 X, Y가 \(Y = aX + b, a > 0, b \neq 0\)의 관계를 가지고 있다고 가정해봅시다.

그렇다면, 공분산 \(\sigma_{XY}\)는

\[\begin{align*} \sigma_{XY} &= E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \\ &= E[(X-\mu_X)(aX+b - (a\mu_X + b))] \\ &= E[(X-\mu_X)(aX - a\mu_X)] \\ &= aE[(X-\mu_X)^2] = a \sigma_X^2  \end{align*}\]

위의 식에 의해서 \(a\sigma_X^2\)가 됩니다. 그리고 X와 Y의 분산은 \(\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2\)의 관계를 갖습니다. 따라서, X와 Y의 상관 계수 \(\rho_{XY}\)는

\[\rho_{XY} = \frac{a \sigma_X^2}{\sigma_X |a|\sigma_X}\]

가 되며, a가 양수라면 이 값은 1, a가 음수라면 이 값은 -1이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

(X와 Y가 정확히 1:1 대칭이 되기 때문에 이렇게 상관 계수가 1 또는 -1이 되는 것을 확인할 수 있습니다)

 

만약 \(Y = X^2\)의 관계를 갖는다면, 이 상관 계수는 1이 아니라 1보다 떨어지는 값이 됩니다.

 

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Multivariate Random Variables

지금까지는 2개의 확률 변수를 고려했습니다. 이번에는 2개 이상의 확률 변수에 대해 고려해보도록 하겠습니다.

 

동일한 Sample Space에 정의된 확률 변수의 집합 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\)이 있다고 가정해봅시다. 이때, 이 확률 변수들의 joint CDF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[F_{X_1, X_2, \cdots, X_n} = P(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \cdots, X_n \leq x_n)\]

만약 모든 확률 변수들이 이산 확률 변수라면, 이들의 joint PMF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[P_{X_1, X_2, \cdots, X_n} = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n)\]

 

모든 확률 변수들이 연속 확률 변수라면, joint PDF가 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{X_1, X_2, \cdots, X_n} = \frac{\partial ^n}{\partial x_1 \partial x_2 \cdots \partial x_n}F_{X_1, X_2, \cdots, X_n}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\]

조건부 PDF는 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{X_n| X_{n-1}, X_{n-2}, \cdots, X_1}(x_n | x_{n-1}, x_{n-2}, \cdots, x_1) = \frac{f_{X_1 X_2 \cdots X_n}(x_1, x_2, \cdots, x_n)}{f_{X_1 X_2 \cdots X_{n-1}}(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})}\]

 

 

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Multinomial Distributions

이항 분포(binomial distribution)은 2가지 결과가 가능한 사건을 n번 시도했을 때, k번 발생할 확률에 대한 확률 분포입니다. 즉, 2가지 경우에 대한 확률 분포이며, 그 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

\[P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

 

다항 분포(multinomial distribution)는 이항 분포의 확장이며, m가지 결과가 가능한 사건을 n번 시도했을 때의 확률 분포이며 다음과 같이 정의됩니다.

\[\begin{align*} P_{K_1, K_2, \cdots, K_m}(k_1, k_2, \cdots, k_m) &= P(K_1 = k_1, K_2 = k_2, \cdots, K_m = k_m) \\ &= \binom{n}{k_1 k_2 \cdots k_m} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \\ &= \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \end{align*}\]

이때, \(\sum_{i=1}^{m} k_i = n\)이며, \(k_i = 0, 1, \cdots, n \text{ for } i = 1, 2, \cdots, m\) 입니다. \(m = 2\)인 경우, 다항 분포는 이항 분포에 해당됩니다.

 

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Joint Gaussian Distribution

Joint Gaussian Distribution은 연합 정규 분포라고도 부르며, 우리가 잘 알고 있는 정규 분포에서 확률 변수의 갯수를 증가시킨 버전이라고 볼 수 있습니다.

 

2개의 확률 변수에 대한 연합 정규 분포는 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{XY}(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2}} \text{exp}\left \{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left [ \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} -\frac{2\rho (x-\mu_X)(y - \mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y} + \frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} \right ] \right \}\]

이때, \(\mu_X, mu_Y\)는 각 확률 변수의 평균, \(\sigma_X^2, \sigma_Y^2\)은 각 확률 변수의 분산, \(\rho\)는 두 확률 변수의 상관 계수입니다.

 

만약, X와 Y가 서로 상관되지 않는다면(uncorrelated), \(rho = 0\) 이며, 따라서,

\[f_{XY}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_X^2}}e^{-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_Y^2}} e^{-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}\]

가 되며, X와 Y(marginal density)가 각각 정규분포이며 서로 독립이라는 것을 확인할 수 있습니다.

(연합 정규 분포의 상관 계수가 0이면, X와 Y는 서로 독립이라는 명제가 참이 됩니다.)

 

 

2개가 아닌 2개 이상의 확률 변수에 대한 가우시안 분포는 다음과 같이 정의됩니다.

\[f_{X_1,X_2,\cdots, X_N}(x_1, x_2, \cdots, x_N) = \frac{ | \mathbb{C}^{-1} |^{ \frac{1}{2} }}{ (2\pi)^{ \frac{N}{2} }} \text{exp} \left \{ - \frac{[X- \overline{X}]^\top \mathbb{C}_X^{-1} [X-\overline{X}]}{2} \right \}\]

위 식에서 \([X-\overline{X}]\)는

\[\begin{bmatrix} X_1 - \mu_{X_1} \\ X_2 - \mu_{X_2} \\ \vdots \\ X_N - \mu_{X_N} \end{bmatrix}\]

이며, 

\(\mathbb{C}_X\)는 covariance matrix로,

\[\begin{bmatrix} C_{11} && C_{12} && \cdots && C_{1N} \\ C_{21} && && \cdots && \\ \cdots && && \cdots && \\ C_{N1} && && \cdots && C_{NN} \end{bmatrix}\]

이며, 각 요소 \(C_{ij}, C_{ii}\)는

\[C_{ij} = E[(X_i - \mu_{X_i})(X_j - \mu_{X_j})], C_{ii} = \sigma_{X_i}^2\]

로 정의됩니다.